不妨令1/n為x,
即證
x/(x+1) < ln(1+x)
由拉格朗日中值定理得
存在ξ屬于(0,x),使得
f'(ξ)=[ln(1+x)-ln1]/(x-0)=ln(1+x)/x=1/(1+ξ)
ξ=0時(shí)最大,ξ=x時(shí)最小,即
1>ln(1+x)/x>1/(1+x)
所以
x/(x+1) < ln(1+x)
證：對(duì)任意正整數(shù)n,都有1/n+1 < ln(1+1/n)
證：對(duì)任意正整數(shù)n,都有1/n+1 < ln(1+1/n) <1/n .
數(shù)學(xué)人氣：965 ℃時(shí)間：2020-05-11 02:23:43
優(yōu)質(zhì)解答
1/n+1 < ln(1+1/n) <1/n
不妨令1/n為x,
即證
x/(x+1) < ln(1+x)
由拉格朗日中值定理得
存在ξ屬于(0,x),使得
f'(ξ)=[ln(1+x)-ln1]/(x-0)=ln(1+x)/x=1/(1+ξ)
ξ=0時(shí)最大,ξ=x時(shí)最小,即
1>ln(1+x)/x>1/(1+x)
所以
x/(x+1) < ln(1+x)
不妨令1/n為x,
即證
x/(x+1) < ln(1+x)
由拉格朗日中值定理得
存在ξ屬于(0,x),使得
f'(ξ)=[ln(1+x)-ln1]/(x-0)=ln(1+x)/x=1/(1+ξ)
ξ=0時(shí)最大,ξ=x時(shí)最小,即
1>ln(1+x)/x>1/(1+x)
所以
x/(x+1) < ln(1+x)
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