證明:(1) 顯然 x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r 都是AX=b的解.
設(shè) k0X0+k1(X0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)=0
則 (k0+k1+...+kn-r)x0+k1a1+...+kn-ran-r=0 (*)
等式兩邊左乘A,因?yàn)?Ax0=b,Aai=0
所以有 (k0+k1+...+kn-r)b=0.
因?yàn)閎是非零向量,所以 k0+k1+...+kn-r=0
所以 (*) 式化為 k1a1+...+kn-ran-r=0.
又因?yàn)?α1,α2,...,αn-r 線性無關(guān)
所以 k1=k2=...=kn-r=0
進(jìn)而有 k0=0
所以 x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r 線性無關(guān)
故 x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r 是方程組AX=b的n-r+1個(gè)線性無關(guān)的解向量
(2) 由線性方程組解的結(jié)構(gòu)知,Ax=b的任一解可表示為
x0+k1α1+k2α2+...+kn-rαn-r
= (1-k1-k2-...-kn-r)x0+k1(x0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)
令 k0=1-k1-k2-...-kn-r
則 Ax=b的任一解可表示為 X=k0X0+k1(x0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)
其中 k0+k1+...+kn-r=1.(題目中沒這個(gè)?)