在數(shù)列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2，q≠0）． （Ⅰ）設bn=an+1-an（n∈N*），證明{bn}是等比數(shù)列； （Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項公式； （Ⅲ）若a3是a6與a9的等差中項，求q
在數(shù)列{an}中，a1=1，a2=2，且an+1=（1+q）an-qan-1（n≥2，q≠0）．
（Ⅰ）設bn=an+1-an（n∈N*），證明{bn}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅲ）若a3是a6與a9的等差中項，求q的值，并證明：對任意的n∈N*，an是an+3與an+6的等差中項．
數(shù)學人氣：229 ℃時間：2020-09-11 08:13:40
優(yōu)質解答
（Ⅰ）證明：由題設a
n+1=（1+q）a
n-qa
n-1（n≥2），得a
n+1-a
n=q（a
n-a
n-1），即b
n=qb
n-1，n≥2．
又b
1=a
2-a
1=1，q≠0，所以{b
n}是首項為1，公比為q的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）a
2-a
1=1，a
3-a
2=q，
…
a
n-a
n-1=q
n-2，（n≥2）．
將以上各式相加，得a
n-a
1=1+q+…+q
n-2（n≥2）．
所以當n≥2時，
an＝上式對n=1顯然成立．
（Ⅲ）由（Ⅱ），當q=1時，顯然a
3不是a
6與a
9的等差中項，故q≠1．
由a
3-a
6=a
9-a
3可得q
5-q
2=q
2-q
8，由q≠0得q
3-1=1-q
6，①
整理得（q
3）
2+q
3-2=0，解得q
3=-2或q
3=1（舍去）．于是
q＝?．
另一方面，
an?an+3＝＝(q3?1)，
an+6?an＝＝(1?q6)．
由①可得a
n-a
n+3=a
n+6-a
n，n∈N
*．
所以對任意的n∈N
*，a
n是a
n+3與a
n+6的等差中項．
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