設(shè)A是N階矩陣,A=E+xyT,x與y都是Nx1矩陣,且xTy=2,求A的特征值與特征向量?

數(shù)學人氣：100 ℃時間：2020-05-09 18:11:36

優(yōu)質(zhì)解答

首先(xy^T)x=x(y^Tx)=x(x^Ty)^T=2x.
又x非零,于是由Ax=Ex+(xy^T)x=3x,x是屬于3的特征向量.
另一方面,以y^T為系數(shù)矩陣的線性方程組y^Tz=0解空間維數(shù)為n-1(因為y的秩為1).
其解向量滿足y^Tz=0,故Az=Ez+(xy^T)z=z+x(y^Tz)=z.
于是y^Tz=0的解空間是A的屬于1的特征子空間,其中非零向量均為特征向量.
綜合得A有特征值3和重數(shù)為n-1的特征值1,對應(yīng)特征向量分別如所述.