1000a+100a+10b+b=11（100a+b）是完全平方數(shù),
∴100a+b中有因數(shù)11,
而100a+b=99a+(a+b)=11×9a+(a+b)
∴a+b一定是11的位數(shù).
試求一個四位數(shù),它是一個完全平方數(shù),并且它的前兩位數(shù)字相同,后兩位數(shù)字也相同
試求一個四位數(shù),它是一個完全平方數(shù),并且它的前兩位數(shù)字相同,后兩位數(shù)字也相同
設(shè)該四位數(shù)為1000a+100a+10b+b,則
1000a+100a+10b+b=1100a+11b =11（100a+b）
故1,又因為(a+b)≤18
所以a+b=11,
帶入上式得 四位數(shù)=11×（a×100+（11－a）） =11×（a×99+11） =11×11×（9a+1)
故9a+1必須為完全平方數(shù).由a=2、3、4、5、6、7、8、9驗證得,9a+1=19、28、27、46、55、64、73.所以只有a=7一個解；此時b=4.因此四位數(shù)是7744=112×82=88×88.
為什么100a+b被11整除,就等價于a+b被11整除?怎么推出來的?
設(shè)該四位數(shù)為1000a+100a+10b+b,則
1000a+100a+10b+b=1100a+11b =11（100a+b）
故1,又因為(a+b)≤18
所以a+b=11,
帶入上式得 四位數(shù)=11×（a×100+（11－a）） =11×（a×99+11） =11×11×（9a+1)
故9a+1必須為完全平方數(shù).由a=2、3、4、5、6、7、8、9驗證得,9a+1=19、28、27、46、55、64、73.所以只有a=7一個解；此時b=4.因此四位數(shù)是7744=112×82=88×88.
為什么100a+b被11整除,就等價于a+b被11整除?怎么推出來的?
數(shù)學(xué)人氣：813 ℃時間：2019-08-21 06:57:00
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