3^p-2^p-1顯然是個(gè)偶數(shù),能被2整除
又p為素?cái)?shù)且>3,那P一定是奇數(shù),
則另p=2n+1 (n>1且n至少是整數(shù))
2^p+1=2^(2n+1)+1=2^(2n+1)-2+3=2[2^2n-1]+3=2(2^n +1)(2^n -1) +3
(2^n -1);2^n;(2^n +1)至少有一個(gè)能被3整除,且顯然這個(gè)能被3整除的數(shù)不是2^n
所以2^p+1=2(2^n +1)(2^n -1) +3能被3整除
3^p-2^p-1=3^(2n+1) -2^(2n+1)-1=3*3^2n -2*2^2n -1
=3*9^n -2*4^n -1
又知9^n=（7+2）^n
（7+2）^n的展開式中,除2^n項(xiàng)外,每一項(xiàng)都有因子7
（7+2）^n除7的余數(shù)=2^n除7的余數(shù)
3*9^n -2*4^n -1除7的余數(shù)=3*2^n -2*4^n -1除7的余數(shù)
又3*2^n -2*4^n -1= -[2*2^(2n) -3*2^n +1]
= -(2^n -1)[2^(n+1) -1]
分類討論
1.當(dāng)n=3m+1 (m>0)時(shí),P=6m+3能被3整除,不是質(zhì)數(shù)
2.當(dāng)n=3m-1 (m>0) 時(shí),-(2^n -1)[2^(n+1) -1]= -[2^(3m-1) -1][2^(3m) -1]= -[2^(3m-1) -1][8^m -1]
又由上面知8^m=(7+1)^m除7的余數(shù)=1^m除7的余數(shù),所以[8^m -1]能被7整除
即-(2^n -1)[2^(n+1) -1] 能被7整除,即3^p-2^p-1=3*9^n -2*4^n -1能被7整除
3.當(dāng)n=3m (m>0) 時(shí),-(2^n -1)[2^(n+1) -1] = -[2^(3m) -1][2^(3m+1) -1]= - [8^m -1][2^(3m+1) -1] 能被7整除
所以3^p-2^p-1能被7整除
綜上p為>3的質(zhì)數(shù)時(shí)3^p-2^p-1能被7整除
即3^p-2^p-1能被2*3*7=42整除