（1）函數(shù)f （x）在區(qū)間（0，+∞）上，證明如下：
∵f（x）=

|x|

x+2

，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=1?

2

x+2

∵y＝

2

x+2

在(0，+∞)上是減函數(shù)
∴f （x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．（4分）
（2）原方程即：

|x|

x+2

=kx²①
①由方程的形式可以看出，x=0恒為方程①的一個(gè)解．（5分）
②當(dāng)x＜0且x≠-2時(shí)方程①有解，則

?x

x+2

=kx²即kx²+2kx+1=0
當(dāng)k=0時(shí)，方程kx²+2kx+1=0無(wú)解；
當(dāng)k≠0時(shí)，△=4k²-4k≥0即k＜0或k≥1時(shí)，方程kx²+2kx+1=0有解．
設(shè)方程kx²+2kx+1=0的兩個(gè)根分別是x₁，x₂則x₁+x₂=-2，x₁x₂=

1

k

．
當(dāng)k＞1時(shí)，方程kx²+2kx+1=0有兩個(gè)不等的負(fù)根；
當(dāng)k=1時(shí)，方程kx²+2kx+1=0有兩個(gè)相等的負(fù)根；
當(dāng)k＜0時(shí)，方程kx²+2kx+1=0有一個(gè)負(fù)根（8分）
③當(dāng)x＞0時(shí)，方程①有解，則

x

x+2

=kx²，kx²+2kx-1=0
當(dāng)k=0時(shí)，方程kx²+2kx-1=0無(wú)解；
當(dāng)k≠0時(shí)，△=4k²+4k≥0即k＞0或k≤-1時(shí)，方程kx²+2kx-1=0有解．
設(shè)方程kx²+2kx-1=0的兩個(gè)根分別是x₃，x₄
∴x₃+x₄=-2，x₃x₄=-

1

k

∴當(dāng)k＞0時(shí)，方程kx²+2kx-1=0有一個(gè)正根，
當(dāng)k≤-1時(shí)，方程kx²+2kx+1=0沒(méi)有正根．（11分）．
綜上可得，當(dāng)k∈（1，+∞）時(shí)，方程f （x）=kx²有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．（13分）．