0.99999999.
=9×(1/10 + 1/100 + ... + 1/10^n + ...)
=9× lim(n→∞) Σ 1/10^n
=9× lim(n→∞) [(1/10)(1-1/10^n)/(1-1/10)]
=9× lim(n→∞) [(1-1/10^n)/9]
=lim(n→∞) [1-1/10^n]
記 數(shù)列 Xn= 1-1/10^n
則：0.9999. = lim(n→∞) Xn
對(duì)于任意ε>0, 取N= lg(1/ε)
則對(duì)于 n>N的一切 Xn=1-1/10^n
均有：
\x09|Xn-1| = 1/10^n < 1/(1/ε) = ε
所以數(shù)列Xn的極限為1
即
\x090.99999999. = lim(n→∞) Xn = 1