長方形abcd內(nèi)接于橢圓x^2+4y^2=4,這個長方形的長濶為多少會使它的面積最大

數(shù)學人氣：307 ℃時間：2020-06-01 19:55:23

優(yōu)質(zhì)解答

把橢圓形方程變?yōu)闃藴市问剑?br/>X^2/2^2+y^2=1
這是一個長半軸為2在X軸上,短半軸為1在Y軸上的橢圓.
設橢圓上一點M(x,y)則有
y=根號(1-x^2/4)
以M為頂點,x為一邊y為另一邊的矩形面積S為
S=xy=x根號（1-x^2/4)=根號(x^2-x^4/4)
對S求導得（2x-x^3）/2根號（x^-x^4/4）
令其為0
則有x=0:x=根號2兩個解.
當x=根號2時這個矩形面積最大.
此時y=根號2/2
這是橢圓形內(nèi)接長方形的四分之一
所以當內(nèi)接長方形的長為2根號2（X方向）闊為根號2（Y方向）時,長方形有最大面積=4