用反證法證明；若整數(shù)系數(shù)方程ax^2+bx+C=0(A0)有有理數(shù),則A,B,C中至少有一個(gè)是偶數(shù)

數(shù)學(xué)人氣：350 ℃時(shí)間：2019-11-21 20:54:57

優(yōu)質(zhì)解答

假設(shè)a,b,c都為奇數(shù).
因方程有有理根,所以可設(shè)判別式b^2-4ac=d^2,a,b,c均為奇數(shù),故b^2-4ac為偶數(shù),d為奇數(shù)
故可設(shè)b=2p+1,d=2q+1
b^2-d^2=(b+d)(b-d)=(2p+2q+2)(2p-2q)=4ac
(p+q+1)(p-q)=(p+q+1)(p+q-2q)=ac
式左邊若p+q為奇數(shù),則p+q+1為偶數(shù),左式為偶數(shù)；
若p+q為偶數(shù),則p+q-2q為偶數(shù),左式為偶數(shù)；
而式右由奇數(shù)a,c相乘后為奇數(shù),顯然等式不成立.
所以假設(shè)是錯(cuò)誤的,a,b,c中至少有一個(gè)數(shù)是偶數(shù).