在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線l與拋物線y2=4x相交于不同的A、B兩點(diǎn)．（Ⅰ）如果直線l過拋物線的焦點(diǎn)，求OA?OB的值；（Ⅱ）如果OA?OB=-4，證明直線l必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線l與拋物線y²=4x相交于不同的A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）如果直線l過拋物線的焦點(diǎn)，求

的值；
（Ⅱ）如果

=-4，證明直線l必過一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)．

數(shù)學(xué)人氣：815 ℃時(shí)間：2019-11-10 21:33:46

優(yōu)質(zhì)解答

（Ⅰ）由題意：拋物線焦點(diǎn)為（1，0）
設(shè)l：x=ty+1代入拋物線y²=4x消去x得，
y²-4ty-4=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4
∴

=x₁x₂+y₁y₂=（ty₁+1）（ty₂+1）+y₁y₂
=t²y₁y₂+t（y₁+y₂）+1+y₁y₂
=-4t²+4t²+1-4=-3．
（Ⅱ）設(shè)l：x=ty+b代入拋物線y²=4x，消去x得
y²-4ty-4b=0設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4b
∴

＝x1x2+y1y2=（ty₁+b）（ty₂+b）+y₁y₂
=t²y₁y₂+bt（y₁+y₂）+b²+y₁y₂
=-4bt²+4bt²+b²-4b=b²-4b
令b²-4b=-4，∴b²-4b+4=0∴b=2．
∴直線l過定點(diǎn)（2，0）．

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