這是一道計(jì)算證明題.
容易看出問題的關(guān)鍵是AD,BE,CF共點(diǎn)于P,則可以考慮使用梅涅勞斯定理和塞瓦定理.
記 AF/FB=x,BD/DC=y,CE/AE=z,則由塞瓦定理知：xyz=1
考慮FPC在△ABD三邊上,由梅涅勞斯定理：(AF/BF)(BC/CD)(PD/AP)=1,
進(jìn)一步求出 PD/AP=1/(x(1+z))
同理：PE/BP=1/(z(1+y)),FP/PC=1/(y(1+x))
從而有：(PD*PE*PF)/(PA*PB*PC)=1/((1+x)(1+y)(1+z))
另一方面,S△DEF/S△ABC=1-S△AEF/S△ABC-S△BDF/S△ABC-S△CDE/S△ABC
=1-x/((1+x)(1+y))-z/((1+x)(1+z))-y/((1+z)(1+y))
=2/((1+x)(1+y)(1+z))
從而命題得證.