設(shè)函數(shù)f（x）是實(shí)數(shù)集R上的單調(diào)增函數(shù)，令F（x）=f（x）-f（2-x）．（1）求證：F（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)；（2）若F（x1）+F（x2）＞0，求證：x1+x2＞2．

設(shè)函數(shù)f（x）是實(shí)數(shù)集R上的單調(diào)增函數(shù)，令F（x）=f（x）-f（2-x）．
（1）求證：F（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)；
（2）若F（x₁）+F（x₂）＞0，求證：x₁+x₂＞2．

數(shù)學(xué)人氣：725 ℃時(shí)間：2019-12-07 05:59:20

優(yōu)質(zhì)解答

（1）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則F（x₁）-F（x₂）=[f（x₁）-f（2-x₁）]-[f（x₂）-f（2-x₂）]=[f（x₁）-f（x₂）]+[f（2-x₂）-f（2-x₁）]；
∵f（x）是實(shí)數(shù)集R上的增函數(shù)，且x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）＜0，
由x₁＜x₂，得-x₁＞-x₂，
∴2-x₁＞2-x₂，
∴f（2-x₁）＞f（2-x₂），
∴f（2-x₂）-f（2-x₁）＜0，
∴[f（x₁）-f（x₂）]+[f（2-x₂）-f（2-x₁）]＜0；
即F（x₁）＜F（x₂）；
∴F（x）是R上的增函數(shù)．
（2）證明：∵F（x₁）+F（x₂）＞0，
∴F（x₁）＞-F（x₂）＞0；
由F（x）=f（x）-f（2-x）知，
-F（x₂）=-[f（x₂）-f（2-x₂）]=f（2-x₂）-f（x₂）=f（2-x₂）-f[2-（2-x₂）]=F（2-x₂），
∴F（x₁）＞F（2-x₂）；
又F（x）是實(shí)數(shù)集R上的增函數(shù)，
所以x₁+＞2-x₂．，
即x₁+x₂＞2．

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