已知函數(shù)f(x)＝alnx－x2＋1.
(1)若曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程為4x－y＋b＝0,求實數(shù)a和b的值；
(2)求證：f(x)≤0對任意x>0恒成立的充要條件是 a＝2；
(3)若a0
∴f’(x)＝a/x-2x==> f’(1)＝a-2
∵f(x)在x＝1處的切線方程為4x－y＋b＝0
∴f’(1)＝a-2=4==>a=6,f(1)＝-1+1=0
則切線方程y=4(x-1)==>b=-4
∴a=6,b=-4
(2)證明：充分性
∵a=2==> f(x)＝2lnx-x^2+1
令f’(x)＝2/x-2x=0==>x=1
f’’(x)＝-2/x^2-2==>當(dāng)x>0時,f’’(x)0,f(x)≤0恒成立
必要性
∵函數(shù)f(x)＝alnx-x^2+1,其定義域為x>0
令f’(x)＝a/x-2x=0==>x=√(2a)/2 (a>0)
f’’(x)＝-a/x^2-2==>當(dāng)x>0時,f’’(x)a=2
∴對任意x>0,f(x)≤0恒成立,則a=2
綜上,a=2是f(x)≤0對任意x>0恒成立的充要條件
(3)解析：∵函數(shù)f(x)＝alnx-x^2+1,其定義域為x>0
當(dāng)a|f(x1)-f(x2)|/|x1-x2|>=1==>|[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)|>=1
由導(dǎo)數(shù)定義可知,即|f’(x)|>=1
f’(x)＝a/x-2x>=1==>a>=x-2x^2==> g(x)最大值為1/4（不合題意）
f’(x)＝a/x-2xag(x)最小值為-1/4
∴a的取值范圍為a