求由正整數(shù)組成的集合S,使S中的元素之和等于元素之積

數(shù)學(xué)人氣：265 ℃時間：2020-03-28 08:56:47

優(yōu)質(zhì)解答

若集合中只有一個元素顯然成立.
若集合中有兩個元素,設(shè)為a,b,則ab=a+b,（a-1)(b-1)=1,a=b=2,這與a!=b矛盾,所以集合中至少三個元素.
設(shè)三個元素為a,b,c,并設(shè)1<=a0都是正整數(shù)且k!=m,所以m>k>=1,所以abc-(a+b+c)=a^3+(k+m)a^2+kma-3a-(k+m)>=1+(k+m)a+km-3a-(k+m)=(k-1)(m-1)+(k+m-3)a>=(1-1)(2-1)+(1+2-3)a=0,所以abc>=a+b+c,等號成立時時a=1,b=2,c=3.
當(dāng)S中至少有四個元素,易知任意兩個大于1的數(shù)的積大于它們的和,設(shè)S={a1,a2,……,an},n>=4,且a1a1a2a3+a4a5……an>……>a1a2a3+a4a5a6+……+a(n-4)a(n-3)a(n-2)+a(n-1)an>a1+a2+a3+a4+a5+a6+……+a(n-4)+a(n-3)+a(n-2)+a(n-1)+an,若n除以3余1,則a1a2a3……an>a1a2a3+a4a5……an>……>a1a2a3+a4a5a6+……+a(n-3)a(n-2)a(n-1)+an>a1+a2+a3+……+an,若n是3的倍數(shù),則a1a2a3……an>a1a2a3+a4a5a6+……+a(n-2)a(n-1)an>a1+a2+……+an,所以S是不滿足條件的.
所以只有S={1,2,3}這一種情況.

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