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  • 已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)與雙曲線 C2:x2-y24=1有公共的焦點(diǎn),C2的一條漸近線與以C1的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于A,B兩點(diǎn),若C1恰好將線段AB三等分,則橢圓C1的離心率為 ( ?。?A.e2=10

    已知橢圓C1
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1
    (a>b>0)與雙曲線 C2:x2-
    y2
    4
    =1
    有公共的焦點(diǎn),C2的一條漸近線與以C1的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于A,B兩點(diǎn),若C1恰好將線段AB三等分,則橢圓C1的離心率為 ( ?。?br/>A. e2=
    10
    11

    B. e2=
    1
    2

    C. e2=
    9
    10

    D. e2=
    8
    9
    數(shù)學(xué)人氣:720 ℃時(shí)間:2019-08-19 01:05:07
    優(yōu)質(zhì)解答
    由題意,C2的焦點(diǎn)為(±
    5
    ,0),一條漸近線方程為y=2x,
    根據(jù)對(duì)稱性可知以C1的長(zhǎng)軸為直徑的圓交y=2x于A、B兩點(diǎn),滿足AB為圓的直徑且AB=2a
    ∵橢圓C1與雙曲線C2有公共的焦點(diǎn),
    ∴C1的半焦距c=
    5
    ,可得a2-b2=5,…①
    設(shè)C1與y=2x在第一象限的交點(diǎn)的坐標(biāo)為A(m,2m),
    代入C1的方程,解得m2=
    a2b2
    b2+4a2
    ,…②
    由對(duì)稱性可得直線y=2x被C1截得的弦長(zhǎng)AB=2
    5
    m,
    結(jié)合題意得2
    5
    m=
    2a
    3
    ,可得m=
    a
    3
    5
    ,…③
    由②③聯(lián)解,得a2=11b2…④
    再聯(lián)解①④,可得a2=5.5,b2=0.5,得c2=a2-b2=5.
    ∴橢圓C1的離心率e滿足e2=(
    c
    a
    )2
    =
    c2
    a2
    =
    10
    11

    故選:A
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