由對稱性 我們只需要研究橢圓與雙曲線在第一象限的交點,設(shè)為P(s,t)
則有s^2/b^2+t^2/a^2=1>=2√[(s^2 * t^2)/(a^2 * b^2 )=2st/ab
st<=ab/2,當(dāng)且僅當(dāng)s^2/b^2=t^2/a^2,即s=b/√2,t=a/√2時區(qū)等,
面積S=4st<=2ab
下面證明S可以取到2ab,即P取(b/√2,a/√2)時,雙曲線存在
設(shè)為y^2/A^2-x^2/B^2=1,A^2+B^2=c^2=a^2-b^2
且由P在雙曲線上,有a^2/2A^2-b^2/2B^2=1
聯(lián)立 有A^2=B^2=(a^2-b^2)/2,此時雙曲線存在
所以面積S可以取到最大值2ab,此時有雙曲線方程為y^2/[(a^2-b^2)/2]-x^2/[(a^2-b^2)/2]=1
四邊形頂點坐標(biāo)為(b/√2,a/√2),(-b/√2,a/√2),(-b/√2,-a/√2),(b/√2,-a/√2)