（I）依題意，求導函數(shù)，可得f′（x）=3x²-2ax-3，
∵x＝?

1

3

是f(x)的極值點
∴f′（-

1

3

）=0，∴

1

3

+

2

3

a-3=0，∴a=4，
∴f（x）=x³-4x²-3x，f′（x）=3x²-8x-3，
令f′（x）=3x²-8x-3=0，解得x₁=-

1

3

，x₂=3，
∴函數(shù)在（1，3）上單調減，（3，4）上單調增
而f（1）=-6，f（3）=-18，f（4）=-12，∴f（x）在區(qū)間[1，4]上的最大值是f（1）=-6．
（Ⅱ）函數(shù)g（x）=bx的圖象與函數(shù)f（x）的圖象恰有3個不同的交點，等價于方程x³-4x²-3x=bx恰有3個不等的實數(shù)根，
而x=0是方程x³-4x²-3x=bx的一個實數(shù)根，則方程x²-4x-3-b=0有兩個非零實數(shù)根，
則

△＝16+4(b+3)＞0 ?3?b≠0

，即b＞-7且b≠-3，
故滿足條件的b存在，其取值范圍是（-7，-3）∪（-3，+∞）．