將方程的左邊分解因式,得（x-1）【x2+（a+18）x+56】=0,觀察易知,方程有一個整數(shù)根x1=1,
∵a是正整數(shù),
∴關于x的方程x2+（a+18）x+56=0（1）的判別式△=（a+18）2-224＞0,它一定有兩個不同的實數(shù)根．
而原方程的根都是整數(shù),所以方程（1）的根都是整數(shù),因此它的判別式△=（a+18）2-224應該是一個完全平方數(shù)．
設（a+18）2-224=k2（其中k為非負整數(shù)）,則（a+18）2-k2=224,即（a+18+k）（a+18-k）=224．
顯然a+18+k與a+18-k的奇偶性相同,且a+18+k≥18,而224=112×2=56×4=28×8,所以a+18+k=112 a+18-k=2或a+18+k=56 a+18-k=4或a+18+k=28 a+18-k=8解得a=39 k=55或a=12 k=26或a=0 k=10
而a是正整數(shù),所以只可能a=39 k=55或a=12 k=26.
當a=39時,方程（1）即x2+57x+56=0,它的兩根分別為-1和-56．此時原方程的三個根為1,-1和-56．
當a=12時,方程（1）即x2+30x+56=0,它的兩根分別為-2和-28．此時原方程的三個根為1,-2和-28