(1)
∵F(x)=(3x-2)/(2x-1)
∴F(1-x)=[3(1-x)-2]/[2(1-x)-1]=(1-3x)/(1-2x)=(3x-1)/(2x-1)
∴F(x)+F(1-x)=(3x-2)/(2x-1)+(3x-1)/(2x-1)=(6x-3)/(2x-1)=3
∴F(1/2010)+F(2009/2010)=F(2/2010)+F(2008/2010)=…=F(1004/2010)+F(1006/2010)=3
∵F(1005/2010)無意義
∴F(1/2010)+F(2/2010)+…+F(2008/2010)+F(2009/2010)=3×1004=3012.
(2)
∵a(n+1)=F(an)=(3an-2)/(2an-1)
∴a(n+1)-1=(3an-2)/(2an-1)-1=(an-1)/(2an-1)
∴1/[a(n+1)-1]=(2an-1)/(an-1)=2+1/(an-1)
∴數(shù)列{1/(an-1)}是等差數(shù)列.
∵a1=2
∴1/(a1-1)=1/(2-1)=1
∴1/(an-1)=1+2(n-1)=2n-1
∴an-1=1/(2n-1)
∴an=1+1/(2n-1)=2n/(2n-1).
(3)
∵bn=(2n-1)/(2n)
∴anbn=[2n/(2n-1)][(2n-1)/(2n)]=1
∴Sn=a1b1+a2b2+…+anbn=1+1+…+1=n.