(1)
E(i,j)=E(j(-1))E(i,j(1))E(j,i(-1)E(i,j(1))
E(i,j) 表示交換單位矩陣的第i,j行得到的初等矩陣
E(i(k)) 表示單位矩陣的第i行乘k得到的初等矩陣
E(i,j(k)) 表示單位矩陣的第j行的k倍加到第i行得到的初等矩陣
上式說明:初等變換中的交換兩行可由另兩個(gè)初等變換代替
所以可逆矩陣可以表示成(i)(ii)類初等矩陣的乘積
(2)
問題等價(jià)于A經(jīng)所述初等變換化為對角矩陣
設(shè)A=(aij)是n階可逆矩陣,則 |A|≠0.
(B1)若a11≠0,則第1行乘適當(dāng)?shù)臄?shù)可將A的第1列的其余元素化為0
(B2)若a11=0,由于|A|≠0,所以A的第1列的元素至少有一個(gè)非零元
將此非零元所在行加到第1行,則所得矩陣的左上角元素非零
此后按(B1)情況處理
為了便于敘述,處理后所得矩陣仍記為A,此時(shí)A的第1列元素只有a11≠0.
(B3)若a22≠0,類似(B1)可將A的第2列其余元素都化為0
(B4)若a22=0,由于|A|≠0,所以A的第2列中3到n行的元素至少有一個(gè)非零
將此非零元所在行加到第2行,則所得矩陣的(2,2)位置元素非零
此后按(B3)情況處理
如此下去,即可用(i)將A化為對角矩陣
(3) 感覺這個(gè)不對
A若表示成(i)類初等矩陣的乘積
則 行列式|A|等于(i)類初等矩陣的行列式的乘積
而(i)類初等矩陣的行列式都等于1