設(shè)三階實(shí)對稱矩陣A的特征值為1,1,-1且對應(yīng)的特征值1的特征向量有(1,1,1),(2,2,1),求矩陣A

數(shù)學(xué)人氣：309 ℃時(shí)間：2020-03-25 14:05:33

優(yōu)質(zhì)解答

因?yàn)閷ΨQ矩陣的屬于不同特征值的特征向量正交
所以若設(shè)屬于特征值 -1 的特征向量為 (x1,x2,x3)^T
則有 x1+x2+x3=0
2x1+2x2+x3=0
方程組的基礎(chǔ)解系為 ζ3=(1,-1,0)^T
所以屬于特征值 -1 的特征向量為 c(1,-1,0)^T,c為非零常數(shù).
令P=
1 2 1
1 2 -1
1 1 0
則P可逆,且 P^-1AP=diag(1,1,-1)
所以有 A = Pdiag(1,1,-1)P^-1 =
0 1 0
1 0 0
0 0 1
注:為避免求P的逆,可將特征值1的特征向量正交化,之后將3個(gè)向量單位化