設(shè)∑是球面x^2+y^2+z^2=4,則曲面積分∮∫（x^2+y^2+z^2)dS=

數(shù)學(xué)人氣：648 ℃時間：2020-02-02 08:52:25

優(yōu)質(zhì)解答

面積元素ds=2/（4-x^2-y^2）^1/2dxdy
∫∫（x^2+y^2+z^2)dS=x^2+y^2+z^2)dS=∫∫4.2/（4-x^2-y^2）^1/2dxdy
極坐標換元：∫∫（x^2+y^2+z^2)dS= 4πr^4=64π
細節(jié)問題自己處理.∫∫4.2/（4-x^2-y^2）^1/2dxdy=8∫∫1/（4-r^2)^1/2 rdrdθ（積分范圍：r（0.2）θ（0.2π））=8∫∫-（4-r^2）^1/2drdθ（積分范圍：r（0.2）θ（0.2π））=16π.2=32π 以上求得的是上半球面的曲面積分，根據(jù)對稱性：∫∫（x^2+y^2+z^2)dS=64π關(guān)于換元有：dxdy=|a（x.y）/a（v.u）|dudv這里令x=rsinθ y=rcosθ 那么：dxdy=rdrdθ