可設(shè)直角三角形的兩直角邊為a、b,斜邊為c,利用勾股定理,得：
a²+b²=c²
a+b+c=4
由a+b+c=4得：4-c=a+b,兩邊同時平方,得：
16-8c+c²=a²+b²+2ab
16-8c+c²=c²+2ab
16-8c=2ab≤a²+b²=c² ·········①
整理得：
c²+8c≥16
c²+8c+16≥32
(c+4)²≥32
因為c>0,所以解得：c≥4√2-4,
由①知：ab=8-4c,所以：
面積S=1/2×ab=1/2×(8-4c)=4-2c,
可以看出,要使面積S最大,則c必須最小,由上知,斜邊c的最小值為c=4√2-4,則面積的最大值為：
S最大=4-2×(4√2-4)=12-8√2
注：上面借助了基本不等式：2ab≤a²+b²,它由(a-b)²≥0展開即得,由此可知原直角三角形為等腰直角三角形時,它的面積才是最大.√表示二次根號,‘4√2-4’表示‘4倍的根號2,再減去4’.
由此知,當(dāng)原直角三角形面積最大時,此時為等腰直角三角形,所以有：a=b,而c=4√2-4,a+b+c=4,從而求得：a=b=4-2√2,c=4√2-4.