微積分是研究函數(shù)的微分、積分以及有關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支.微積分是建立在實數(shù)、函數(shù)和極限的基礎(chǔ)上的.
極限和微積分的概念可以追溯到古代.到了十七世紀(jì)后半葉,牛頓和萊布尼茨完成了許多數(shù)學(xué)家都參加過準(zhǔn)備的工作,分別獨立地建立了微積分學(xué).他們建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量,理論基礎(chǔ)是不牢固的.直到十九世紀(jì),柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論,康托爾等建立了嚴(yán)格的實數(shù)理論,這門學(xué)科才得以嚴(yán)密化.
微積分是與實際應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的,它在天文學(xué)、力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等自然科學(xué)、社會科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)個分支中,有越來越廣泛的應(yīng)用.特別是計算機的發(fā)明更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展.
微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱.
客觀世界的一切事物,小至粒子,大至宇宙,始終都在運動和變化著.因此在數(shù)學(xué)中引入了變量的概念后,就有可能把運動現(xiàn)象用數(shù)學(xué)來加以描述了.
由于函數(shù)概念的產(chǎn)生和運用的加深,也由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要,一門新的數(shù)學(xué)分支就繼解析幾何之后產(chǎn)生了,這就是微積分學(xué).微積分學(xué)這門學(xué)科在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位是十分重要的,可以說它是繼歐氏幾何后,全部數(shù)學(xué)中的最大的一個創(chuàng)造.
微積分學(xué)的建立
從微積分成為一門學(xué)科來說,是在十七世紀(jì),但是,微分和積分的思想在古代就已經(jīng)產(chǎn)生了.
公元前三世紀(jì),古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中,就隱含著近代積分學(xué)的思想.作為微分學(xué)基礎(chǔ)的極限理論來說,早在古代以有比較清楚的論述.比如我國的莊周所著的《莊子》一書的“天下篇”中,記有“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”.三國時期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細,所失彌小,割之又割,以至于不可割,則與圓周和體而無所失矣.”這些都是樸素的、也是很典型的極限概念.
到了十七世紀(jì),有許多科學(xué)問題需要解決,這些問題也就成了促使微積分產(chǎn)生的因素.歸結(jié)起來,大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現(xiàn)的,也就是求即時速度的問題.第二類問題是求曲線的切線的問題.第三類問題是求函數(shù)的最大值和最小值問題.第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當(dāng)大的物體作用于另一物體上的引力.
十七世紀(jì)的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作,如法國的費爾瑪、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格；英國的巴羅、瓦里士；德國的開普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論.為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻.
十七世紀(jì)下半葉,在前人工作的基礎(chǔ)上,英國大科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作,雖然這只是十分初步的工作.他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起,一個是切線問題（微分學(xué)的中心問題）,一個是求積問題(積分學(xué)的中心問題).
牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點是直觀的無窮小量,因此這門學(xué)科早期也稱為無窮小分析,這正是現(xiàn)在數(shù)學(xué)中分析學(xué)這一大分支名稱的來源.牛頓研究微積分著重于從運動學(xué)來考慮,萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來考慮的.
牛頓在1671年寫了《流數(shù)法和無窮級數(shù)》,這本書直到1736年才出版,它在這本書里指出,變量是由點、線、面的連續(xù)運動產(chǎn)生的,否定了以前自己認(rèn)為的變量是無窮小元素的靜止集合.他把連續(xù)變量叫做流動量,把這些流動量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù).牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問題是：已知連續(xù)運動的路徑,求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間內(nèi)經(jīng)過的路程(積分法).
德國的萊布尼茨是一個博才多學(xué)的學(xué)者,1684年,他發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻,這篇文章有一個很長而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法,它也適用于分式和無理量,以及這種新方法的奇妙類型的計算》.就是這樣一片說理也頗含糊的文章,卻有劃時代的意義.他以含有現(xiàn)代的微分符號和基本微分法則.1686年,萊布尼茨發(fā)表了第一篇積分學(xué)的文獻.他是歷史上最偉大的符號學(xué)者之一,他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號,遠遠優(yōu)于牛頓的符號,這對微積分的發(fā)展有極大的影響.現(xiàn)在我們使用的微積分通用符號就是當(dāng)時萊布尼茨精心選用的.
微積分學(xué)的創(chuàng)立,極大地推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展,過去很多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題,運用微積分,往往迎刃而解,顯示出微積分學(xué)的非凡威力.
前面已經(jīng)提到,一門科學(xué)的創(chuàng)立決不是某一個人的業(yè)績,他必定是經(jīng)過多少人的努力后,在積累了大量成果的基礎(chǔ)上,最后由某個人或幾個人總結(jié)完成的.微積分也是這樣.
不幸的事,由于人們在欣賞微積分的宏偉功效之余,在提出誰是這門學(xué)科的創(chuàng)立者的時候,竟然引起了一場悍然大波,造成了歐洲大陸的數(shù)學(xué)家和英國數(shù)學(xué)家的長期對立.英國數(shù)學(xué)在一個時期里閉關(guān)鎖國,囿于民族偏見,過于拘泥在牛頓的“流數(shù)術(shù)”中停步不前,因而數(shù)學(xué)發(fā)展整整落后了一百年.
其實,牛頓和萊布尼茨分別是自己獨立研究,在大體上相近的時間里先后完成的.比較特殊的是牛頓創(chuàng)立微積分要比萊布尼詞早10年左右,但是整是公開發(fā)表微積分這一理論,萊布尼茨卻要比牛頓發(fā)表早三年.他們的研究各有長處,也都各有短處.那時候,由于民族偏見,關(guān)于發(fā)明優(yōu)先權(quán)的爭論竟從1699年始延續(xù)了一百多年.
應(yīng)該指出,這是和歷史上任何一項重大理論的完成都要經(jīng)歷一段時間一樣,牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的.他們在無窮和無窮小量這個問題上,其說不一,十分含糊.牛頓的無窮小量,有時候是零,有時候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說.這些基礎(chǔ)方面的缺陷,最終導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機的產(chǎn)生.
直到19世紀(jì)初,法國科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首,對微積分的理論進行了認(rèn)真研究,建立了極限理論,后來又經(jīng)過德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進一步的嚴(yán)格化,使極限理論成為了微積分的堅定基礎(chǔ).才使微積分進一步的發(fā)展開來.
任何新興的、具有無量前途的科學(xué)成就都吸引著廣大的科學(xué)工作者.在微積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星：瑞士的雅科布·貝努利和他的兄弟約翰·貝努利、歐拉、法國的拉格朗日、科西……
歐氏幾何也好,上古和中世紀(jì)的代數(shù)學(xué)也好,都是一種常量數(shù)學(xué),微積分才是真正的變量數(shù)學(xué),是數(shù)學(xué)中的大革命.微積分是高等數(shù)學(xué)的主要分支,不只是局限在解決力學(xué)中的變速問題,它馳騁在近代和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)園地里,建立了數(shù)不清的豐功偉績.
微積分的基本內(nèi)容
研究函數(shù),從量的方面研究事物運動變化是微積分的基本方法.這種方法叫做數(shù)學(xué)分析.
本來從廣義上說,數(shù)學(xué)分析包括微積分、函數(shù)論等許多分支學(xué)科,但是現(xiàn)在一般已習(xí)慣于把數(shù)學(xué)分析和微積分等同起來,數(shù)學(xué)分析成了微積分的同義詞,一提數(shù)學(xué)分析就知道是指微積分.微積分的基本概念和內(nèi)容包括微分學(xué)和積分學(xué).
微分學(xué)的主要內(nèi)容包括：極限理論、導(dǎo)數(shù)、微分等.
積分學(xué)的主要內(nèi)容包括：定積分、不定積分等.
微積分是與應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來的,最初牛頓應(yīng)用微積分學(xué)及微分方程為了從萬有引力定律導(dǎo)出了開普勒行星運動三定律.此后,微積分學(xué)極大的推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展,同時也極大的推動了天文學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等自然科學(xué)、社會科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)各個分支中的發(fā)展.并在這些學(xué)科中有越來越廣泛的應(yīng)用,特別是計算機的出現(xiàn)更有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展.