= (x+1) + 1/(x+1)
當(x+1)>0時 即x>-1時
(x+1) + 1/(x+1)>=2 當x=0時取等號.（x=-2不在討論范圍內）
此時 1/y >= 2 ； 0 < y <= 1/2;
當(x+1)<0時 即x<-1時
-(x+1) - 1/(x+1)>=2 當x=-2時取等號.（x=0不在討論范圍內）
此時 -1/y >= 2 ； -1/2 <= y < 0;
當x=-1時 y=0
故縱上述 y的值域為[-1/2,1/2]
求函數值域比較常用的方法：
一．觀察法
通過對函數定義域、性質的觀察,結合函數的解析式,求得函數的值域.
例1求函數y=3+√(2－3x) 的值域.
點撥：根據算術平方根的性質,先求出√(2－3x) 的值域.
由算術平方根的性質,知√(2－3x)≥0,
故3+√(2－3x)≥3.
∴函數的知域為.
點評：算術平方根具有雙重非負性,即：（1）被開方數的非負性,（2）值的非負性.
本題通過直接觀察算術平方根的性質而獲解,這種方法對于一類函數的值域的求法,簡捷明了,不失為一種巧法.
練習：求函數y=[x](0≤x≤5)的值域.（答案：值域為：｛0,1,2,3,4,5｝）
二．反函數法
當函數的反函數存在時,則其反函數的定義域就是原函數的值域.
例2求函數y=(x+1)/(x+2)的值域.
點撥：先求出原函數的反函數,再求出其定義域.
顯然函數y=(x+1)/(x+2)的反函數為:x=(1－2y)/（y－1）,其定義域為y≠1的實數,故函數y的值域為｛y∣y≠1,y∈R｝.
點評：利用反函數法求原函數的定義域的前提條件是原函數存在反函數.這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想,是數學解題的重要方法之一.
練習：求函數y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域.（答案：函數的值域為｛y∣y<－1或y>1｝）
三．配方法
當所給函數是二次函數或可化為二次函數的復合函數時,可以利用配方法求函數值域
例3：求函數y=√(－x2+x+2)的值域.
點撥：將被開方數配方成完全平方數,利用二次函數的最值求.
由－x2+x+2≥0,可知函數的定義域為x∈[－1,2].此時－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0,9/4]
∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函數的值域是[0,3/2]
點評：求函數的值域不但要重視對應關系的應用,而且要特別注意定義域對值域的制約作用.配方法是數學的一種重要的思想方法.
練習：求函數y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域為{y∣y≤3})
四．判別式法
若可化為關于某變量的二次方程的分式函數或無理函數,可用判別式法求函數的值域.
例4求函數y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域.
點撥：將原函數轉化為自變量的二次方程,應用二次方程根的判別式,從而確定出原函數的值域.
將上式化為（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊）
當y≠2時,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0,解得：2＜x≤10/3
當y=2時,方程(＊)無解.∴函數的值域為2＜y≤10/3.
點評：把函數關系化為二次方程F(x,y)=0,由于方程有實數解,故其判別式為非負數,可求得函數的值域.常適應于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函數.
練習：求函數y=1/(2x2－3x+1)的值域.（答案：值域為y≤－8或y>0）.
五．最值法
對于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數的最值,可得到函數y的值域.
例5已知(2x2-x-3)/(3x2+x+1)≤0,且滿足x+y=1,求函數z=xy+3x的值域.
點撥：根據已知條件求出自變量x的取值范圍,將目標函數消元、配方,可求出函數的值域.
∵3x2+x+1＞0,上述分式不等式與不等式2x2-x-3≤0同解,解之得－1≤x≤3/2,又x+y=1,將y=1-x代入z=xy+3x中,得z=-x2+4x(-1≤x≤3/2),
∴z=-(x-2)2+4且x∈[-1,3/2],函數z在區(qū)間[-1,3/2]上連續(xù),故只需比較邊界的大小.
當x=-1時,z=－5；當x=3/2時,z=15/4.
∴函數z的值域為｛z∣－5≤z≤15/4｝.
點評：本題是將函數的值域問題轉化為函數的最值.對開區(qū)間,若存在最值,也可通過求出最值而獲得函數的值域.
練習：若√x為實數,則函數y=x2+3x-5的值域為 （）
A．（－∞,＋∞）B．[－7,＋∞]C．[0,＋∞）D．[－5,＋∞）
（答案：D）.
六．圖象法
通過觀察函數的圖象,運用數形結合的方法得到函數的值域.
例6求函數y=∣x+1∣+√(x-2)2 的值域.
點撥：根據絕對值的意義,去掉符號后轉化為分段函數,作出其圖象.
原函數化為 －2x+1(x≤1)
y= 3 (-1
它的圖象如圖所示.
顯然函數值y≥3,所以,函數值域[3,＋∞].
點評：分段函數應注意函數的端點.利用函數的圖象
求函數的值域,體現(xiàn)數形結合的思想.是解決問題的重要方法.
求函數值域的方法較多,還適應通過不等式法、函數的單調性、換元法等方法求函數的值域.
七．單調法
利用函數在給定的區(qū)間上的單調遞增或單調遞減求值域.
例1求函數y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域.
點撥：由已知的函數是復合函數,即g(x)= －√1-3x,y=f(x)+g(x),其定義域為x≤1/3,在此區(qū)間內分別討論函數的增減性,從而確定函數的值域.
設f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它們在定義域內為增函數,從而y=f(x)+g(x)= 4x－√1-3x
在定義域為x≤1/3上也為增函數,而且y≤f(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函數值域為｛y|y≤4/3｝.
點評：利用單調性求函數的值域,是在函數給定的區(qū)間上,或求出函數隱含的區(qū)間,結合函數的增減性,求出其函數在區(qū)間端點的函數值,進而可確定函數的值域.
練習：求函數y=3+√4-x的值域.(答案：｛y|y≥3｝)
八．換元法
以新變量代替函數式中的某些量,使函數轉化為以新變量為自變量的函數形式,進而求出值域.
例2求函數y=x-3+√2x+1 的值域.
點撥：通過換元將原函數轉化為某個變量的二次函數,利用二次函數的最值,確定原函數的值域.
設t=√2x+1 （t≥0）,則
x=1/2(t2-1).
于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-4≥1/2-4=-7/2.
所以,原函數的值域為｛y|y≥－7/2｝.
點評：將無理函數或二次型的函數轉化為二次函數,通過求出二次函數的最值,從而確定出原函數的值域.這種解題的方法體現(xiàn)換元、化歸的思想方法.它的應用十分廣泛.
練習：求函數y=√x-1 –x的值域.（答案：｛y|y≤－3/4｝
九．構造法
根據函數的結構特征,賦予幾何圖形,數形結合.
例3求函數y=√x2+4x+5+√x2-4x+8 的值域.
點撥：將原函數變形,構造平面圖形,由幾何知識,確定出函數的值域.
原函數變形為f(x)=√(x+2)2+1+√(2-x)2+22
作一個長為4、寬為3的矩形ABCD,再切割成12個單位
正方形.設HK=x,則ek=2-x,KF=2+x,AK=√(2-x)2+22 ,
KC=√(x+2)2+1 .
由三角形三邊關系知,AK+KC≥AC=5.當A、K、C三點共
線時取等號.
∴原函數的知域為｛y|y≥5｝.
點評：對于形如函數y=√x2+a ±√(c-x)2+b(a,b,c均為正數),均可通過構造幾何圖形,由幾何的性質,直觀明了、方便簡捷.這是數形結合思想的體現(xiàn).
練習：求函數y=√x2+9 +√(5-x)2+4的值域.（答案：｛y|y≥5√2｝）
十．比例法
對于一類含條件的函數的值域的求法,可將條件轉化為比例式,代入目標函數,進而求出原函數的值域.
例4已知x,y∈R,且3x-4y-5=0,求函數z=x2+y2的值域.
點撥：將條件方程3x-4y-5=0轉化為比例式,設置參數,代入原函數.
由3x-4y-5=0變形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k為參數)
∴x=3+4k,y=1+3k,
∴z=x2+y2=(3+4k)2+(14+3k)2=(5k+3)2+1.
當k=－3/5時,x=3/5,y=－4/5時,zmin=1.
函數的值域為｛z|z≥1｝.
點評：本題是多元函數關系,一般含有約束條件,將條件轉化為比例式,通過設參數,可將原函數轉化為單函數的形式,這種解題方法體現(xiàn)諸多思想方法,具有一定的創(chuàng)新意識.
練習：已知x,y∈R,且滿足4x-y=0,求函數f(x,y)=2x2-y的值域.（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）
十一．利用多項式的除法
例5求函數y=(3x+2)/(x+1)的值域.
點撥：將原分式函數,利用長除法轉化為一個整式與一個分式之和.
y=(3x+2)/(x+1)=3－1/(x+1).
∵1/(x+1)≠0,故y≠3.
∴函數y的值域為y≠3的一切實數.
點評：對于形如y=(ax+b)/(cx+d)的形式的函數均可利用這種方法.
練習：求函數y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域.（答案：y≠2）
十二．不等式法
例6求函數Y=3x/(3x+1)的值域.
點撥：先求出原函數的反函數,根據自變量的取值范圍,構造不等式.
易求得原函數的反函數為y=log3[x/(1-x)],
由對數函數的定義知x/(1-x)＞0
1-x≠0
解得,0＜x<1.
∴函數的值域（0,1）.
點評：考查函數自變量的取值范圍構造不等式（組）或構造重要不等式,求出函數定義域,進而求值域.不等式法是重要的解題工具,它的應用非常廣泛.是數學解題的方法之一.
以下供練習選用：求下列函數的值域
1．Y=√(15－4x)+2x-5；（｛y|y≤3｝）
2．Y=2x/(2x－1).（y>1或y<0）
注意變量哦~