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  • 已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),滿足f(x-4)=-f(x),且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),則( ?。?/h1>

    已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),滿足f(x-4)=-f(x),且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),則(  )
    A.f(-25)<f(11)<f(80)
    B.f(80)<f(11)<f(-25)
    C.f(11)<f(80)<f(-25)
    D.f(-25)<f(80)<f(11)
    解析:由f(x)滿足f(x-4)=-f(x)可變形為f(x-8)=f(x),得到函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù),則有f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3),再由f(x)在R上是奇函數(shù),f(0)=0,得到f(80)=f(0)=0,f(-25)=f(-1),再由f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),以及奇函數(shù)的性質(zhì),推出函數(shù)在[-2,2]上的單調(diào)性,即可得到結(jié)論.
    為什么由f(x)滿足f(x-4)=-f(x)可變形為f(x-8)=f(x)?請解釋這一步
    數(shù)學人氣:372 ℃時間:2019-12-03 00:34:33
    優(yōu)質(zhì)解答

    f(x-4)=-f(x)(1)
    中,用 x-4替換x,得
    f(x-8)=-f(x-4) (2)
    對比 (1)(2)得
    f(x-8)=-f(x-4)=-[-f(x)]=f(x)其他的不行!用x-4替換,是為了替換前后有聯(lián)系,從而得出結(jié)論。比如:若已知 f(x+3)=-f(x),則要用 x+3去替換x,得 f(x+6)=-f(x+3)當然是用定義判斷f(x+T)=f(x)成立。上面用的是迭代法。下面再舉一個例子。若 f(x+2)=1/f(x),證明:f(x)是周期函數(shù)。證:在f(x+2)=1/f(x)中,用 x+2替換x,得 f(x+4)=1/(f(x+2)對比條件,得f(x+4)=1/f(x+2)=1/[1/f(x)]=f(x)從而 f(x)是以4為周期的周期函數(shù)。
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