我們可以找一個滿足條件的函數f,使得f在任何的(0,a)內不單調.
考慮下面的分段形式定義的函數
f(x) = x^2 * sin(1/x) + x/2,當x不等于0；
0,當x等于0；
容易知道f'(0) = 1/2 > 0,
當x不為零時,f'(x) = 2x*sin(1/x) - cos(1/x) + 1/2.
不論a是多小的正數,
在(0,a)內,總有點1/(2n*pi),使得f'(1/(2n*pi)) = - 1/2 < 0,
這說明f在(0,a)內不是單調增的；
在(0,a)內,也總有點1/(2n*pi + pi),使得f'(1/(2n*pi + pi)) = 3/2 > 0,
這說明f在(0,a)內不是單調減的；
也就是說,無論正數a多小,f(x)在(0,a)內都不單調.
這里例子可以嗎?