由圖形的對(duì)稱性,不妨設(shè)P點(diǎn)在上半橢圓.設(shè)P坐標(biāo)為(x,y)
過(guò)P作PH⊥AB于點(diǎn)H.
那么PH=y,HA=x+2,HB=2-x,AC=m+2,BC=m-2
MC/PH=AC/AH
所以：MC=PH*AC/AH=y(m+2)/(x+2)
NC/PH=BC/BH
所以：NC=PH*BC/BH=y(m-2)/(2-x)
MC*NC=y^2(m^2-4)/(4-x^2)
點(diǎn)P在橢圓上,所以：3x^2+4y^2=12,4-x^2=4y^2/3 代入上式得：
MC*NC=y^2(m^2-4)/(4y^2/3)=3(m^2-4)/4
這個(gè)值與P點(diǎn)位置無(wú)關(guān),當(dāng)m是定值,它也是定值.
根據(jù)平均值不等式：
MN=MC+NC>=2√MC*NC=√[3(m^2-4)]
即MN的最小值為√[3(m^2-4)]
FC=m-1也是定值.
所以：△MFN面積最小值為(m-1)*√[3(m^2-4)]/2
當(dāng)且僅當(dāng)MC=CN時(shí)能夠取到.
即：y(m+2)/(x+2)=y(m-2)/(2-x)
(m+2)/(x+2)=(m-2)/(2-x)=2m/4=m/2
x=(m-2)/2
即：當(dāng)x=(m-2)/2時(shí),△MFN取到最小面積(m-1)*√[3(m^2-4)]/2