你有沒有打錯啊?是不是歐拉公式啊?
用拓樸學方法證明歐拉公式
嘗歐拉公式：對于任意多面體（即各面都是平面多邊形并且沒有洞的立體）,假 設F,E和V分別表示面,棱（或邊）,角（或頂）的個數(shù),那么
F-E+V=2.試一下用拓樸學方法證明關(guān)于多面體的面、棱、頂點數(shù)的歐拉公式.
證明 如圖15（圖是立方體,但證明是一般的,是“拓樸”的）：
（1）把多面體（圖中①）看成表面是薄橡皮的中空立體.
（2）去掉多面體的一個面,就可以完全拉開鋪在平面上而得到一個平面中的直線形,像圖中②的樣子.假設F′,E′和V′分別表示這個平面圖形的（簡單）多邊形、邊和頂點的個數(shù),我們只須證明F′-E′+V′=1.
（3）對于這個平面圖形,進行三角形分割,也就是說,對于還不是三角形的多邊形陸續(xù)引進對角線,一直到成為一些三角形為止,像圖中③的樣子.每引進一條對角線,F′和E′各增加1,而V′卻不變,所以F′-E′+V′不變.因此當完全分割成三角形的時候,F′-E′+V′的值仍然沒有變.有些三角形有一邊或兩邊在平面圖形的邊界上.
（4）如果某一個三角形有一邊在邊界上,例如圖④中的△ABC,去掉這個三角形的不屬于其他三角形的邊,即AC,這樣也就去掉了△ABC.這樣F′和E′各減去1而V′不變,所以F′-E′+V′也沒有變.
（5）如果某一個三角形有二邊在邊界上,例如圖⑤中的△DEF,去掉這個三角形的不屬于其他三角形的邊,即DF和EF,這樣就去掉△DEF.這樣F′減去1,E′減去2,V′減去1,因此F′-E′+V′仍沒有變.
（6）這樣繼續(xù)進行,直到只剩下一個三角形為止,像圖中⑥的樣子.這時F′=1,E′=3,V′=3,因此F′-E′+V′=1-3+3=1.
（7）因為原來圖形是連在一起的,中間引進的各種變化也不破壞這事實,因此最后圖形還是連在一起的,所以最后不會是分散在向外的幾個三角形,像圖中⑦那樣.
（8）如果最后是像圖中⑧的樣子,我們可以去掉其中的一個三角形,也就是去掉1個三角形,3個邊和2個頂點.因此F′-E′+V′仍然沒有變.
即F′-E′+V′=1
成立,于是歐拉公式：
F-E+V=2
得證.
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用球面三角形面積公式證明歐拉公式
假設在任意凸多面體中放置一個點光源,以這個點光源為中心作一個單位球,凸多面體的頂點、棱、面都會在球上形成投影.那么只要證明在球面上形成的點、線、面滿足歐拉公式即可.
然后將球面上的所有面剖分成三角形,剖分一個面時,任意兩條剖分線不要在這個面的內(nèi)部形成交叉,這樣剖分為三角形后,球面投影的面數(shù)和線數(shù)會增加,由于每1條線將1個面分成2個面,因而增加1條線也就增加了1個面,線和面增加的數(shù)目相同.
假設原來的頂點、棱、面的個數(shù)分別為V、E、F,那么進行三角剖分后,V不變,E和F增加的數(shù)目相同,因而F-E+V的值保持不變.下面只證全部為球面三角形時F-E+V=2.
所有面全部為三角形時,由于每個面有3條邊,而每條邊又為2個面所共有,因而2E=3F,則F-E=-F/2,下面再證明V-F/2=2即可.
每一個頂點的一個周角2∏被若干個球面三角形的角圍成,因而所有三角形的內(nèi)角總和為2∏V,一個球面三角形的面積為A+B+C-∏,則所有三角形的面積為：所有三角形內(nèi)角總和-∏F,而所有三角形面積之和為球面面積4∏,即得2∏V-∏F=4∏,等式兩邊除以2∏得：V-F/2=2,問題得證.