先看繩子微元的受力分析圖,這是個空間上的受力分析
為了方便畫圖,我取最右邊一小段（紅色）的繩子作為微元
受力分析：
紫色：來自球面的支持力,這個力垂直于球面,所以從球心發(fā)出
紅色：繩微元的重力
藍色：身子由于拉升產(chǎn)生的繩內(nèi)張力,大小由虎克定律決定,和繩子的總長度變化相關(guān)
想求彈力常數(shù)K,又已經(jīng)知道繩子的伸長,因此必須知道彈力大小
彈力的大小,由空間力的平衡來求,在彈力這個平面上,也就是頂端圓面上,只有支持力N的分力,而大小位置,因此需要先求出N的大小,N的大小可以通過重力方向上的力學平衡得出,重力已知,因此可以求解
解題步驟：
1,在重力方向列力的平衡,有 mg = Ncosa
m為繩的微元質(zhì)量,角a的大小可以通過幾何關(guān)系求出 ：
sin a = 圓截面半徑/球半徑 = b/R = 二分之根號二
所以 a = 45度,因此 N = mg/cos45 = √2 mg,
N在圓截面上的投影大小為 Nsina =mg
2,在圓截面方向列力的平衡：
設(shè)繩微元的張力為F,從頂端俯瞰截面圓,再來個圖：
力的平衡給出
2F sinb = N sina = mg
注意m是微元繩子的質(zhì)量,因此m = (2b/2pi)*M
所以有 F = (b/sinb) Mg/pi
同時,有 F = k Δl = k * 2pi *(b-a) = k*pi*(√2-1)R
于是得到 k = F/[pi*(√2-1)R],代入 F = (b/sinb) Mg/pi
得到 k = (b/sinb) * Mg/(2*pi平方) / [(√2-1)R]
注意,由于是繩的微元,因此b無窮小
b/sinb 這個表達式在b ->0的時候,極限為1
同時把 帶根號的分母有理化,上下同時乘以√2+1)
得到最后的結(jié)果
k = Mg/(R*pi平方) * (√2+1)/2
有問題可以來追問~