兩種證法.
可以用合同變換的性質(zhì):
在不同基下的度量矩陣相差一個合同變換.
合同的矩陣秩相等.
而在標(biāo)準(zhǔn)正交基下(一定存在),度量矩陣為單位陣,是滿秩的.
因此度量矩陣都是滿秩的,即可逆.
也可以用定義證明:
設(shè)內(nèi)積在一組基ε1,ε2,...,εn下的度量矩陣為A.
假設(shè)A不可逆,則存在非零列向量X滿足AX = 0.
考慮以X為坐標(biāo)的向量v = (ε1 ε2 ...εn)X.
則(v,v) = X'AX = 0,但由X非零,ε1,ε2,...,εn是一組基,有v非零.
與內(nèi)積的正定性矛盾.
因此A一定可逆.