1）
設(shè)橢圓方程為x^2/a^2+y^2/b^2=1,
直線AB：y=x-c,
聯(lián)立消去y可得：
(a^2+b^2)x^2-2a^2cx+a^2c^2-a^2b^2=0,
令A(yù)=(x1,y1),B=(x2,y2),
則x1+x2=(2a^2*c)/(a^2+b^2) ,x1*x2=(a^2*c^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2),
向量OA+ OB=(x1+x2,y1+y2), 與向量a=(3,-1)共線,
所以3（y1+y2）+（x1+x2）=0,
即3（x1-c+x2-c）+（x1+x2）=0,
4（x1+x2）-6c=0,
化簡得：a^2=3b^2.
橢圓過點(diǎn)（√3,-1）,所以3/a^2+1/b^2=1,
聯(lián)立解得：a^2=6,b^2=2.
橢圓方程為x^2/6+y^2/2=1.
2）
橢圓x^2/6+y^2/2=1
即：x^2+3y^2=6 ,①
設(shè)向量OM=(x,y),OA=(x1,y1),OB=(x2,y2)
(x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2)
即：x=λx1+μx2
y=λy1+μy2
M在橢圓上,把坐標(biāo)代入橢圓方程①
（λx1+μx2）^2+3(λy1+μy2)^2=6 ,
λ^2(x1^2+3y1^2)+μ^2(x2^2+3y2^2) +2λμ(x1*x2+3y1*y2)=6 ,②
直線過右焦點(diǎn),直線方程即： y=x-c ,
把直線代入橢圓,直線交橢圓于AB,求交點(diǎn)：
(a^2+b^2)x^2-2a^2cx+a^2*c^2-a^2*b^2=0
因?yàn)榍懊嬉炎Ca^2=3b^2,所以c^2=a^2-b^2=2b^2,
由韋達(dá)定理：
x1+x2=(2a^2*c)/(a^2+b^2)=3/2*c,
x1*x2=(a^2*c^2-a^2*b^2)/(a^2+b^2)=3/8*c^2
∴x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c)
=4x1*x2-3(x1+x2)c+3c^2
=3/2c^2-9/2c^2+3c^2=0
而A,B在橢圓上：
x1^2+3y1^2=6 ,x2^2+3y2^2=6 全部代入②知：
λ^2+μ^2=1 為定值.你這是復(fù)制過來的吧？題目沒說過點(diǎn)（√3，-1）！