由于被積函數(shù)f(z)=tanπz=sinπz/cosπz的奇點是分母等于0的點,而使分母cosπz=0又在c:|z|=1內(nèi)的點只有l(wèi)兩個點：
z=1/2和z=-1/2；再根據(jù)孤立奇點的分類判定可知：z=1/2和z=-1/2是被積函數(shù)f(z)=tanπz的一級極點.
利用一級極點求留數(shù)的方法可以知道：
Res(tanπz,1/2)=- sin(π/2)/[πsin(π/2)]=-1/π；
Res(tanπz,-1/2)=- sin(-π/2)/[πsin(-π/2)]=-1/π；
因此利用留數(shù)基本定理可知：
∮tanπzdz=2πi [Res(tanπz,1/2)+Res(tanπz,-1/2)]
=2πi [-1/π+(-1/π)]
=-4i.
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