題：show that a number of the form 3^m*5^N*7^K can never be a perfect number
譯：形如3^m*5^n*7^k的數(shù)不可能是完全數(shù).補充：m,n,k為正整數(shù).
等價于證明以下不定方程無
(3^(m+1)-1)/2 * (5^(n+1)-1)/4 * (7^(k+1)-1)/6 = 2 * 3^m * 5^n *7^k
(3^(m+1)-1) * (5^(n+1)-1) * (7^(k+1)-1) = 32 * 3^(m+1) * 5^n *7^k
其中m,n,k均>=1.
嘗試一下,以拋磚引玉：
兩邊mod3:
-1*((-1)^(n+1)-1)*0==0,無矛盾.
mod 4,無矛盾.
兩邊mod5,7,==0,同時成立.
即 (3^(m+1)-1) * (-1) * (2^(k+1)-1) ==0 mod 5
其解為：m==3mod4或k==3mod4
(3^(m+1)-1) * (5^(n+1)-1) * (-1) ==0 mod 7
其解為 m==5 mod 7 或n==5 mod 6.
故有：
m==3 mod 4且n==5 mod6(##1)
或
m==19 mod 28(##2)
或
k==3 mod 4且n==5 mod6(##3)
以下再考慮原等式：
(3^(m+1)-1)/2 * (5^(n+1)-1)/4 * (7^(k+1)-1)/6 = 2 * 3^m * 5^n *7^k
即(3^(m+1)-1) * (5^(n+1)-1) * (7^(k+1)-1) = 32 * 3^(m+1) * 5^n *7^k
即(3-3^(-m))(5-5^(-n))(7-7^(-k))=96
情況##1:
左邊>=(3-3^(-3))(5-5^(-5))(7-1/7)>96,等式不成立.
情況##2:
左邊>=(3-3^(-19))(5-1/5)(7-1/7)>96,等式不成立.
情況##3:
左邊>=(3-3^(-1))(5-5^(-5))(7-7^(-3))=2,則左邊>=(3-3^(-2))(5-5^(-5))(7-7^(-3))>96,
至此,只有一種情況沒有排除：
m=1且k==3 mod 4且n==5 mod6(##3##)
即原數(shù)形如:
3*5^(3+4k)*7^(5+6t),k,t>=0
相信亦不難解決.我不做了,拋磚引玉吧.