這就是著名的角谷猜想,至今尚無(wú)人證明.
“角谷猜想”又稱“冰雹猜想”.它首先流傳于美國(guó),不久便傳到歐洲,后來(lái)一位名叫角谷的日本人又把它帶到亞洲,因而人們就順勢(shì)把它叫做“角谷猜想”.其實(shí),叫它“冰雹猜想”更形象,也更恰當(dāng).
為什么叫它“冰雹猜想”呢?顧名思義,這首先要從自然現(xiàn)象——冰雹的形成談起.
大家知道,小水滴在高空中受到上升氣流的推動(dòng),在云層中忽上忽下,越積越大并形成冰,最后突然落下來(lái),變成冰雹.
“冰雹猜想”就有這樣的意思,它算來(lái)算去,數(shù)字上上下下,最后一下子像冰雹似地掉下來(lái),變成一個(gè)數(shù)字：“1”．
這個(gè)數(shù)學(xué)猜想的通俗說(shuō)法是這樣的：
任意給一個(gè)自然數(shù)N,如果它是偶數(shù),就將它除以2,如果他是奇數(shù),就將他乘3減1
對(duì)任意的一個(gè)自然數(shù)施行這種演算手續(xù),經(jīng)有限步驟后,最后結(jié)果必然是最小的自然數(shù)1．
對(duì)這個(gè)猜想,你不妨任意挑幾個(gè)數(shù)來(lái)試一試：
若 N=9,則 9×3＋1=28, 28÷2=14, 14÷2=7, 7×3＋1=22,22÷2=11,11×3＋1=34,34÷2=17,17×3＋1＝52,52÷2＝26, 26÷2＝13,13×3＋1=40,40÷2=20,20÷2=10,10÷2=5,5×3＋1=16,16÷2=8,8÷2=4,4÷2=2,2÷2=1．
你看,經(jīng)過(guò)19個(gè)回合(這叫“路徑長(zhǎng)度”),最后變成了“1”．
若 N=120,則120÷2=60,60÷2=30,30÷2=15,15×3＋1=46,46÷2=23,23×3＋1=70,70÷2=35,35×3＋1=106,106÷2=53,53×3＋1=160,160÷2=80,80÷2=40,40÷2=20,20÷2=10,10÷2=5,5×3＋1=16,16÷2=8,8÷2=4,4÷2=2,2÷2=1．
你看,經(jīng)過(guò)20個(gè)回合,最后也仍然變成了“1”．
有一點(diǎn)更值得注意,假如N是2的正整數(shù)方冪,則不論這個(gè)數(shù)字多么龐大,它將“一落千丈”,很快地跌落到1．例如：
N=65536=216
則有：65536→32768→16384→8192→4096→2048→1024→512→256→128→64→32→16→8→4→2→1．
你看,它的路徑長(zhǎng)度為16,比9的還要小些.
我們說(shuō)“1”是變化的最終結(jié)果,其實(shí)不過(guò)是一種方便的說(shuō)法.嚴(yán)格地講,應(yīng)當(dāng)是它最后進(jìn)入了“ 1→4→2→1”的循環(huán)圈.
這一結(jié)果如此奇異,是令人難以置信的.曾經(jīng)有人拿各種各樣的數(shù)字來(lái)試,但迄今為止,總是發(fā)現(xiàn)它們最后都無(wú)一例外地進(jìn)入“1→4→2→1”這個(gè)死循環(huán).已經(jīng)驗(yàn)證的最大數(shù)目,已達(dá)到1099511627776．
由于數(shù)學(xué)這門科學(xué)的特點(diǎn),盡管有了如此眾多的實(shí)例,甚至再試驗(yàn)下去,達(dá)到更大的數(shù)目,但我們?nèi)圆荒苷J(rèn)為“冰雹猜想”已經(jīng)獲得證明,因此還只能稱它為一個(gè)猜想.(在我們所查閱的資料中,尚未見(jiàn)到對(duì)這一猜想的完整證明.)可想而知,要證明它或推翻它,都是很不容易的,要設(shè)法說(shuō)出它的實(shí)質(zhì),也似乎是難上加難.
不僅如此,對(duì)于“角谷猜想”,人們?cè)谘芯窟^(guò)程中或作出了改動(dòng),或進(jìn)行了推廣,得出的結(jié)果同樣富有奇趣.比如,對(duì)于“角谷猜想”若作如下更動(dòng)：
任給一個(gè)自然數(shù),若它是偶數(shù),則將它除以2；若它是奇數(shù),則將它乘以3再減1．……如此下去,經(jīng)過(guò)有限次步驟運(yùn)算后,它的結(jié)果必然毫無(wú)例外地進(jìn)入以下三個(gè)死循環(huán)：
①1→2→1；②5→14→7→20→10→5；
③17→50→25→74→37→110→55→164→82→41→122→61→182→91→272→136→68→34→17．