首先,齊次線性方程組的解的線性組合仍是方程組的解
所以,b1,b2,b3 是Ax=0 的解.
還需證兩點:
1.b1,b2,b3 線性無關
2.任一解可由b1,b2,b3 線性表示
事實上這兩點可用下方法一次證明出來.
(b1,b2,b3) = (a1,a2,a3)A
其中 A =
1 2 3
2 3 4
1 4 3
第1列是b1表示成 a1,a2,a3 的組合系數(shù),其余類似.
計算一下A的行列式,|A| = 4≠0.所以A可逆.
所以有 (b1,b2,b3)A^(-1) = (a1,a2,a3)
即 a1,a2,a3 可由 b1,b2,b3 線性表示
所以 a1,a2,a3 與 b1,b2,b3 等價
這說明了兩點:
1.r(b1,b2,b3)=r(a1,a2,a3) = 3,故 b1,b2,b3 線性無關
2.由a1,a2,a3是齊次線性方程組AX=0的一個基礎解系
任一解都可由 a1,a2,a3 線性表示
所以 任一解也可由 b1,b2,b3 線性表示.
故 b1,b2,b3 是 Ax=0 的基礎解系.
請琢磨一下這個證法,很有用的!