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  • 已知函數(shù)f(x)=mx3+nx2(m,n∈R,m>n且m≠0)的圖象在(2,f(2))處的切線與x軸平行. (1)試確定m、n的符號(hào); (2)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[n,m]上有最大值為m-n2,試求m的值.

    已知函數(shù)f(x)=mx3+nx2(m,n∈R,m>n且m≠0)的圖象在(2,f(2))處的切線與x軸平行.
    (1)試確定m、n的符號(hào);
    (2)若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[n,m]上有最大值為m-n2,試求m的值.
    數(shù)學(xué)人氣:622 ℃時(shí)間:2020-05-26 21:27:44
    優(yōu)質(zhì)解答
    (I)由圖象在(2,f(2))處的切線與x軸平行,
    知f'(2)=0,∴n=-3m①
    又n<m,故n<0,m>0.
    (II)令f′(x)=3mx2+2nx=3mx2-6mx=0,
    得x=0或x=2
    易證x=0是f(x)的極大值點(diǎn),x=2是極小值點(diǎn)(如圖).
    令f(x)=f(0)=0,得x=0或x=3.
    分類:(I)當(dāng)0<m≤3時(shí),f(x)max=f(0)=0,∴m-n2=0.②
    由①,②解得m=
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    ,符合前提0<m≤3.
    (II)當(dāng)m>3時(shí),f(x)max=f(m)=m4+m2n,
    ∴m4+m2n=m-n2.③
    由①,③得m3-3m2+9m-1=0.
    記g(m)=m3-3m2+9m-1,
    ∵g′(m)=3m2-6m+9=3(m-1)2+6>0,
    ∴g(m)在R上是增函數(shù),又m>3,∴g(m)>g(3)=26>0,
    ∴g(m)=0在(3,+∞)上無(wú)實(shí)數(shù)根.綜上,m的值為m=
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