令n=1,2,3得
3=(a+b+c)/3
18=2(4a+2b+c)/3
53=9a+3b+c
解出a=4,b=6,c=-1
用數(shù)學(xué)歸納法證明
①當(dāng)n=1時(shí),成立
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),等式成立
即1*3+3*5+5*7+...+(2k-1)(2k+1)=k*(4k^2+6k-1)/3
那么1*3+3*5+5*7+...+(2k-1)(2k+1)+(2k+1)(2k+3)
=k(4k^2+6k-1)/3+(2k+1)(2k+3)
=[4k^3+18k^2+23k+9]/3
=(k+1)(4k^2+14k+9)/3
=(k+1)[4(k+1)^2+6(k+1)-1]/3
即當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立
是否存在常數(shù)a、b、c,使等式1*3+3*5+5*7+……+(2n-1)(2n+1)=n*(an^2+bn+c)/3對任意正整數(shù)成立?證明
是否存在常數(shù)a、b、c,使等式1*3+3*5+5*7+……+(2n-1)(2n+1)=n*(an^2+bn+c)/3對任意正整數(shù)成立?證明
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