證明：
假設(shè)存在a,b,c使得等式成立,則可以令n=1,2,3,此時得方程組：
①a+b+c=24；②4a+2b+c=44；③9a+3b+c=70
聯(lián)立①②③,解得：a=3；b=11；c=10
即1*2^2+2*3^2+3*4^2+……+n*(n+1)^2=[n(n+1)/12](an^2+bn+c)
下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：
1.當(dāng)n=1時,成立(通過前面的計(jì)算是成立的)
2.假設(shè)當(dāng)n=k時,等式成立,
即Sk=1*2^2+2*3^2+3*4^2+……+k*(k+1)^2=[k(k+1)/12](3k^2+11k+10)
則當(dāng)n=k+1時,
Sk+1
=Sk+(k+1)(k+2)
=[k(k+1)/12](3k^2+11k+10)+(k+1)(k+2)
=[(k+1)(k+2)/12][3(k+1)^2+11(k+1)+10]
即當(dāng)n=k+1時,等式也成立
因此,當(dāng)a=3,b=11,c=10 時,等式對一切自然數(shù)都成立.
祝你學(xué)習(xí)天天向上,加油!