證明 已知ΔABC是直角三角形,AB為斜邊,記AB=c,BC=a,CA=b.則有:
c^2=a^2+b^2. (1)
滿足:S(PAB)=S(PBC)=S(PCA),易證P是RtΔABC的重心.
設(shè)mc,ma,mb分別表示RtΔABC的對(duì)應(yīng)邊AB,BC,CA上的中線,則有
PC=2mc/3, PA=2ma/3, PB=2mb/3.
而三角形中線公式為:
4(mc)^2=2a^2+2b^2-c^2,
4(ma)^2=2b^2+2c^2-a^2,
4(mb)^2=2c^2+2a^2-b^2.
欲證明PA^2+PB^2=5PC^2,等價(jià)于證明
4(ma)^2+4(mb)^2=20(mc)^2 (2)
因?yàn)樵赗tΔABC中,4(mc)^2=2a^2+2b^2-c^2=c^2
而4(ma)^2+4(mb)^2=4c^2+a^2+b^2=5c^2.
所以(2)式成立.