高數(shù) 極坐標弧長積分請問 ds=根號（dx^2+dy^2）是怎么推出根號（r(θ)^2+r’（θ）^2）

數(shù)學人氣：295 ℃時間：2019-09-29 14:51:52

優(yōu)質(zhì)解答

ds=√[(dx)²+(dy)²]=√[(dx)²+(y')²(dx)²]=√[1+(y')²]dx
x=r(θ)cosθ,y=r(θ)sinθ
√[1+(y')²]dx=√[1+(d(rsinθ)/dx)²]dx
=√[1+((d(rsinθ)/dθ)*dθ/dx)²]*(dx/dθ)dθ
=√[(dx/dθ)²+(d(r(θ)sinθ)/dθ)²]dθ
=√[(dx/dθ)²+(r'(θ)sinθ+r(θ)cosθ)²]dθ
=√[(r'(θ)cosθ-r(θ)sinθ)²+(r'(θ)sinθ+r(θ)cosθ)²]dθ
=√[(r'(θ))²+(r(θ))²]dθ是不是因為θ趨向無窮小，最后就把sin相給去除了θ不是趨近無窮小的啊最后一步所有的sin和cos項被消掉是因為展開后cos²θ+sin²θ=1你展開試試就知道了