在△ABC中，已知a、b、c分別為角A、B、C的對邊，求證：a2sin2B+b2sin2A=2absinC．

在△ABC中，已知a、b、c分別為角A、B、C的對邊，求證：a²sin2B+b²sin2A=2absinC．

數(shù)學(xué)人氣：684 ℃時(shí)間：2020-01-28 14:20:59

優(yōu)質(zhì)解答

證明：∵△ABC中，

sinA

＝

sinB

＝

sinC

＝2R（R為外接圓的半徑）
∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
∴a²sin2B+b²sin2A=2a²sinB?cosB+2b²sinA?cosA
=8R²sinA?sinB?（sinAcosB+sinBcosA）
=8R²sinA?sinB?sin（A+B）
=8R²sinA?sinB?sin（π-C）
=8R²sinA?sinB?sinC，
又2absinC=2?2RsinA?2RsinB?sinC=8R²sinA?sinB?sinC，
∴a²sin2B+b²sin2A=2absinC．

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