設A為mxn實矩陣,A^tA是正定矩陣,
所以|A^tA|>0,從而（A^tA)的秩是n
從而方程(A^tA)X=0只有零解.
下面只要證方程(A^tA)X=0與方程AX=0有相同的解即可.
1）設α設是方程AX=0的解,那么Aα=0
從而（A^tA)α=A^t(Aα)=A^t*0=0,即α是方程(A^tA)X=0的解
2）設α設是方程（A^tA)X=0的解,則（A^tA)α=0
從而α^t(A^tA)α=(Aα)^t(Aα)=0
而Aα是mx1的矩陣,設Aα=(x1,x2,...,xm)^t
所以α^t(A^tA)α=(Aα)^t(Aα)=x1^2+x2^2+..+xm^2=0
由于x1,x2,...,xm是實數(shù),所以x1=x2=...=xm=0
所以Aα=0
所以α是方程AX=0的解,
因此方程(A^tA)X=0與方程AX=0有相同的解,從而Ax=0只有零解.向量a1=(1,1,1)的七次方？？？？這個有問題設與a1=(1,1,1)^t都正交的向量是a=(x,y,z)^t則x+y+z=0基礎解系b1=(-1,1,0)^t, b2=(-1,0,1)^t其中b1,b2都與a1正交，再把b1,b2正交化，用施密特正交化公式可得a2=(-1,1,0)^ta3=b2-[b2,b1]/[b1,b1]*b1=(-1,0,1)^t-1/2*(-1,1,0)^t =(-1/2, -1/2, 1)注：[b2,b1]表示向量b2與向量b1的內(nèi)積。 一般情況下：這種題目是求向量a2,a3，使a1,a2,a3兩兩正交的單位向量，否則答案不唯一的。方法就是上面的方法。