看這兩個多線性函數(shù)：
行列式det(v1,v2,...,vn)
體積 vol(v1,v2,...,vn)
v1,v2,...,vn 都是R^n中的向量.
對于體積函數(shù),規(guī)定當(dāng)這n個向量按右手定則排列時,值為正,否則為負(fù).
就是說 vol( v1,v2,...) = - vol( v2,v1,...)
那么這兩個函數(shù)都是反對稱、多線性的.
再注意到它們在任意一組單位正交基上的值都是1,
容易證明這三個屬性唯一的確定這函數(shù).就是說,歸一化的反對稱多線性函數(shù)是唯一確定的.所以 det = vol.