如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，（1）證明：BC1⊥面A1B1CD；（2）求直線(xiàn)A1B和平面A1B1CD所成的角．

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，

（1）證明：BC₁⊥面A₁B₁CD；
（2）求直線(xiàn)A₁B和平面A₁B₁CD所成的角．

數(shù)學(xué)人氣：804 ℃時(shí)間：2020-03-21 11:37:22

優(yōu)質(zhì)解答

（1）連接B₁C交BC₁于點(diǎn)O，連接A₁O．
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中
因?yàn)锳₁B₁⊥平面BCC₁B₁．
所以A₁B₁⊥BC₁．
又∵BC₁⊥B₁C，又BC₁∩B₁C=O
∴BC₁⊥平面A₁B₁CD
（2）因?yàn)锽C₁⊥平面A₁B₁CD，所以A₁O為斜線(xiàn)A₁B在平面A₁B₁CD內(nèi)的射影，所以∠BA₁O為A₁B與平面A₁B₁CD所成的角．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a
在RT△A₁BO中，A₁B=

a，BO=

a，所以BO=

A₁B，∠BA₁O=30°，
即直線(xiàn)A₁B和平面A₁B₁CD所成的角為30°．

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