命題應(yīng)該是實對稱矩陣不同的特征值對應(yīng)的特征向量是相互正交的.證明如下：
設(shè)λ1,λ2是兩個A的不同特征值,α1,α2分別是其對應(yīng)的特征向量,有
A * α1 = λ1 * α1,A * α2 = λ2 *α2
分別取轉(zhuǎn)置,并分別兩邊右乘α2和α1,得
α1' * A' * α2 =λ2 * α1' * α2,α2' * A' * α1 =λ1 * α2' * α1
對應(yīng)相減并注意到α2' * A' * α1=（α2' * A' * α1)'= α1' * A' * α2
所以 (λ1 - λ2) α1' * α2 = α1' * A' * α2 - α2' * A' * α1 = α1' * A' * α2 - α1' * A' * α2 =0
而 λ1 - λ2≠ 0,因此 α1' * α2 = 0
即 α1與α2 正交.