1.求出特征值后,即知道了二次型的標準形.如果只是求其標準形,自然至此就完成任務了.
2.但若繼續(xù)問:要用怎樣的線性變換,把所述二次型化為標準形,這時就要回到:
f(x1,x2,x3)=X'AX.(X'表示X的轉置)
作變換:X=PY,得g(y1,y2,y3)=(PY)'A(PY)=Y'P'APY=Y'(P'AP)Y.
使(P'AP)成為對角陣即可.(合同)
3.但是,我們求特征向量是按條件:P(逆)AP為對角陣.即按相似來求的.
為了能夠用2的分析,就想到,當P是正交陣時,P(逆)=P'
為此求出特征值之后,還要求特征向量,還要正交化,標準化,構成正交陣,才能得到正交線性變換:X=PY.
當然,如果只是要求用可逆線性變換將二次型化為標準形,(只含平方項的),問題比這個相對簡單,相應的,保留的性質也比較少了.