二次型的矩陣 A=
2 0 0
0 3 2
0 2 3
|A-λE| =
2-λ 0 0
0 3-λ 2
0 2 3-λ
= (2-λ)[(3-λ)^2-2^2]
= (1-λ)(2-λ)(5-λ).
所以 A 的特征值為 1,2,5.
A-E =
1 0 0
0 2 2
0 2 2
r3-r2,r2*(1/2)
1 0 0
0 1 1
0 0 0
(A-E)X=0 的基礎(chǔ)解系為 a1=(0,1,-1)'.
A-2E =
0 0 0
0 1 2
0 2 1
r3-2r2
0 0 0
0 1 2
0 0 -3
r3*(-1/3),r2-2r3
0 0 0
0 1 0
0 0 1
(A-2E)X=0 的基礎(chǔ)解系為 a2=(1,0,0)'.
A-5E =
-3 0 0
0 -2 2
0 2 -2
r1*(-1/3),r3+r2,r2*(-1/2)
1 0 0
0 1 -1
0 0 0
(A-5E)X=0 的基礎(chǔ)解系為 a3=(0,1,1)'.
a1,a2,a3 單位化得
b1=(0,1/√2,-1/√2)'
b2=(1,0,0)'
b3=(0,1/√2,1/√2)'
令 P = (b1,b2,b3),則 P 是正交矩陣,且
P^-1AP = diag(1,2,5).
故 X=PY 是正交變換,滿足
f = y1^2+2y2^2+5y3^2.答案是f = 2y1^2+y2^2+5y3^2.有區(qū)別么沒(méi)區(qū)別只是要注意: P的列向量與特征值1,2,5的對(duì)應(yīng)如果答案是f = 2y1^2+y2^2+5y3^2P應(yīng)該是 (b2,b1,b3)