在ΔABC中,已知（a^2+b^2）sin（A-B）=（a^2-b^2）×sin（A+B）.求證：ΔABC為等腰三角形或直角三角形.

數(shù)學(xué)人氣：676 ℃時(shí)間：2019-08-21 17:49:56

優(yōu)質(zhì)解答

將已知等式按照和差角公式展開得到：
(a²+b²)*(sinAcosB-cosAsinB)=(a²-b²)(sinAcosB+cosAsinB)
整理得到：
b²sinAcosB-a²cosAsinB=-(b²sinAcosB-a²cosAsinB)
顯然等式左右兩邊互為相反數(shù),所以等式兩邊有且只有等于0才能成立,即：
b²sinAcosB=a²cosAsinB
又根據(jù)△的正弦定理,有：a/b=sinA/sinB
那么有：sinAsin²BcosB=sin²AcosAsinB
顯然A,B≠0,所以sinA≠0,sinB≠0
等式兩邊消去非零項(xiàng)得到：
sinBcosB=sinAcosA
要使上式成立有且僅有兩種情況：
壹：A=B（即△為等腰三角形）；
貳：A=90°-B（即△為Rt三角形）.